Calculo Integral y Diferencial

Cálculo Integral

La integración es el proceso de determinar una función cuando se conoce su derivada, esto es, la operación inversa o contraria a la derivación.

El símbolo con el que se representa a la integral es: ∫ que denota la operación de antiderivación y que de manera general define a la integral de la siguiente manera:

∫f(x)dx=F(x)+C

En donde:

f(x)=F'(x)

C=  constante de integración para una integral no definida.

Fórmulas y reglas de integración:

➊ ∫adx = ax+c

➋ ∫af(x)dx=∫af(x)+c

➌ ∫(u±v+w±...)dx=∫udx±∫vdx±∫wdx±...

➍ ∫udv=uv-∫vdu Integración por partes.

➎ ∫f(ax)dx=¹/a ∫f(u)du

➏ ∫uⁿdu=uⁿ⁺¹/n-1 +c

➐ ∫ᵈᵘ/u=Ln|u|+c

➑ ∫eᵘdu=eᵘ+c

➒ ∫aᵘdu=aᵘ/Ln|a|

   Cálculo diferencial

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. 

Una función de una variable es diferenciable en un punto ${\displaystyle x}$ si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto ${\displaystyle x}$ perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto c es continua en c, pero no toda función continua en c es diferenciable en c (como f(x) = |x|| es continua, pero no diferenciable en x = 0).

Las derivadas se definen tomando el limite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente. Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo se conoce un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, se aproxima la recta tangente por rectas secantes. Cuando se tome el limite de las pendientes de las secantes próximas, se obtendrá la pendiente de la recta tangente.

Para obtener estas pendientes, tómese un número arbitrariamente pequeño que se denominará h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos ${\displaystyle \scriptstyle (x,f(x))\,}$ y ${\displaystyle \scriptstyle (x+h,f(x+h))\,}$ es

Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}}$